정리

모집단: $\mu, \sigma$

표본평균 $\frac{ \sqrt{n} ( \bar{X} - \mu ) } { \sigma} \sim Z$

표본평균의 평균 = $\mu$

표본평균의 분산 = $\sigma^2/n$

표본분산 $S^2$: n-1로 나눈다

표본분산의 평균 = $\sigma^2$ 표본분산의 분산 = $2\sigma^2$ (정규분포인 경우)

$\frac {(n-1)S^2 }{\sigma^2} \sim \chi^2_{n-1}$ (정규분포인 경우)

표본분산의 분산 (일반적인 경우)

t-분포: 표본분산만 아는 경우

$\frac{ \sqrt{n} ( \bar{X} - \mu ) } { S} = \frac{ \sqrt{n} ( \bar{X} - \mu )/\sigma } { \sqrt{S^2 / \sigma^2 } } = \frac{ \frac{\sqrt{n} ( \bar{X} - \mu )} {\sigma } } { \sqrt { \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}/ (n-1) } } = \frac{Z}{\sqrt{\chi^2_{n-1} / (n-1)}} \sim t_{n-1}$

Terms

• Random Sampling

  • i) Every Member of the population has the same chance of being INCLUDED in the sample
  • ii) the members are chosen INDEPENDENTLY of each other

• Statistic

  A function of a random sample $u(X_1, X_2, …, X_n)$

  ex. $X_1+3X_2+3$

• Sample 표본

  • 평균과 중앙값

    

  • 표본의 분산

    

    n-1로 나누는 이유 표본분산은 왜 n-1로 나눌까? : 자유도와 불편추정량 (feat. 표본평균의 평균과 분산 증명하기) : 네이버 블로그 (naver.com)

    1. 수학적으로, n-1로 나눈 값의 불편추정량=E(S^2)를 구하면 모분산 이 나온다. 즉 n-1로 나눠야, 표본분산의 평균이 모분산이 되어 모분산을 추정할 수 있게 된다.
    2. 자유도: 만약 x+y+z=10이라는 식에는 변수가 3개가 아닌 2개이다. 즉 표본평균을 아는 상황에서는 변수가 n-1개 존재하는 것이고, 따라서 자료의 흩어짐의 척도인 분산을 n-1로 나눠야 함.

    그리고 어디까지나 모분산의 추정을 하기 위한 식이지, 진짜 모분산을 구할 때에는 n으로 나누는게 맞다.

  • 표본분산의 평균 증명

    

표본평균의 평균과 분산

• 표본평균의 평균은 모평균
• 표본평균의 분산은 모분산 / n

  • 따라서 n이 커지면 분산이 0이 되어 모분산과 동일해진다. → 큰 수의 법칙 *체비셰프로 간단히 증명

    

Central Limit Theorem 중심극한정리

for $X_1, …, X_n$ with $\mu$ and $\sigma^2$, as $n\rightarrow \infty$ $Y_n = \frac{\bar{X_n} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \rightarrow Z$ $P(Z≤z) = \Phi(z)$

즉 표본평균의 분포가 정규 분포로 수렴한다

증명은 저 Y의 적률생성함수가 표준정규분포와 동일함을 보인다 (라플라스 공간은 일대일이기 때문)

• Binomal→Normal

  중심극한정리에 n=1로, X~B(n,p) 하나에 대해

  

  충분히 큰 n에 대해 정규분포로 근사할 수 있다.

• Any Distribution

  

  어떤 분포라도 Z로 수렴하게 된다.