Random Variables

• Random Variable (확률변수) X:S→R 표본공간 S에서 실수 R로의 함수이다. 사건에 수를 대응시키는 함수이다

• 예시 아무 수나 대응되어도 된다.

  

  또는 규칙에 따라 정해도 된다.

  

• Probability distribution of random variable : P( {s: X(s) ∈ C} ), C⊂R 또는 P(X∈C)

  • ex. 동전 앞면 개수 X에 대해

    

• Distribution Function

  F(x) = P(X≤x)

  • 0≤F(X)≤1 for all x
  • 단조증가 함수(monotone increasing , non-decreasing)
  • continuous from right lim t → x+ F(t) = F(x) → P(a<X≤b) = F(b) - F(a) → P(X>x) = 1 - F(x)

Probability Distributions

Discrete Probability Distributions

이산 확률 분포

• Definition
  • f(x) = P(X=x), for x= a1, a2 … is discrete P.D IF
    • f(x)≥0
    • SIGMA f(x) = 1
• properties

  • F(x) = SIGMA t≤x f(t)

  • f(x) = F(x) - F(x-)

    

Continuous Probability Distributions

연속 확률 분포

• Definition

  • if there exists f(x)≥0 s.t.

    

    then F is called (absolutely) Continuous Distribution Function, f is (probability) Density Function (확률밀도함수)

• Properties

  • f(x) = F’(x)

  • P(a<X<b) = P(a≤X<b) = P(a<X≤b) = integral a~b f(t)dt

  • integral -INF~INF f(t)dt = 1

    

Joint Probability Distributions

결합확률변수

• 여러 확률 변수가 동시에 작용하는 경우의 확률을 나타낸다.

• Definition

  • Joint Distribution Function of X,Y F(x,y) = P(X≤x, Y≤y)

    

    then f(x,y) is Joint Probability Density Function

• Properties

  • discrete

    • f(x,y) = F(x,y) - F(x-,y) - F(x,y-) + F(x-, y-)
    • SIGMA x SIGMA y f(x,y) = 1
    • P((X,Y) in A) = SIGMA (x,y) in A { f(x,y) } for any A in R^2

  • conti

    • f(x,y) = 편미분 (F(x,y)) for x, y
    • 이중 이상적분 f(x,y) dxdy = 1
    • P((X,Y) in A) = 면적분 f(x,y)dxdy

  • example

    

• Marginal Densities 주변확률분포

  

  둘중 하나를 전체 범위로 확장한 확률 변수이다.

  ex.

  

  • f(x,y)에 대한 g와 h는 유일하나 그 반대는 아니다!
  • x에 대한 확률변수화 y에 대한 확률변수가 독립이면 f(x,y) = g(x)h(y)

• Conditional Density 조건부 확률밀도

  for Y=y, f(x|y) = f(x,y) / h(y) 즉 y를 고정해놓은 것이다

  

  또는 굳이 값을 지정하지 않아도 된다.

  

  둘이 독립이면 조건부 확률이 그냥 확률과 동등해진다.

  

• Independence 위에서 독립이면 그렇다고 했는데, 그냥 독립의 정의를 이렇게 한다:

  • X, Y are Independent IF

    F(x,y) = G(x)H(y) for every (x,y)

    where G(x)and H(y) are marginal distribution functions of X, Y