Transformation of Random Variable

Discrete

$X\sim f(x)$일 때 $Y=u(X)$의 분포는?

<aside> 💡 for $Y=u(X),~X=w(y)$ $P(Y=y)=f(w(y))$

</aside>

<aside> 💡 for $(X_1, X_2) \sim f(x_1, x_2), Y_1=u_1(X_1,X_2),Y_2=u_2(X_1,X_2)$

$g(y_1,y_2) = f(w_1(y_1,y_2),w_2(y_1,y_2))$

</aside>

Continuous

u(x)가 강한(strictly) 단조 증가 미분 가능 함수일 때

<aside> 💡 $g(y) = f(w(y)) |J|, J = w’(y)$

</aside>

야코비안을 곱해야 한다.

2 Variable

일대일이 아닌 경우

일대일 함수가 되는 여러 파티션으로 나눠서 계산한다.